摘要：数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的学科，具有高度的抽象性、应用的普遍性和逻辑上的严密性。数学学习的情况因人而异，有些人认为数学是枯燥的，难以理解的，甚至讨厌学数学，而有些人却始终对数学有着浓厚的兴趣，这样的差别的产生主要是因为人们对数学美的领悟与鉴赏能力不同。本文从数学的和谐美和对称美的角度出发，探索数学的美妙，通过生动的例子探讨数学的美对增强学生数学学习兴趣的影响，提高学生对数学的领悟和鉴赏能力，让其感受到数学学习乐在其中。

　　论文关键词：数学的和谐美，数学的对称美，幻方

　　
　　高尔泰曾经说过：“所谓‘数学的和谐’不仅是宇宙的特点，原子的特点也是生命的特点” 。形式上，数学的和谐性赋予了数学鲜活生命般的生动活泼，这种和谐体现在公式里，体现在图形上，也体现在运算中；内容上，数学的和谐是雅致的和谐，严谨的和谐，形式结构统一的和谐，这样的和谐主要表现为数学对自然界的和谐，生命现象的和谐，人自身和谐的论证。

　　
　　（一） 形式上的和谐之美

　　
　　形式上的和谐之美是最直观的也是最吸引人的，公式的应用，图形的协调，运算的难易变化，都带给人们美的体验。

　　
　　黄金分割—深入人心的和谐美

　　
　　黄金分割比实质上是将一条单位长的线段分成两段，使

　　
　　全段：大段=大段：小段

　　
　　即：设大段长为x，则小段长为1-x,于是有1:x=x:（1-x），x取正值约等于0.618，一个极为迷人而神秘的数字，它还有着一个很动听的名字——黄金分割率，它是古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯于2500多年前发现的。黄金分割率是最为深入人心的数学美的体现，它被人们广泛地用于生活的各个领域，各种晚会的编导用黄金分割率来决定晚会中主持人的站位，时装设计师在设计时装时以人体的黄金分割率为参考设计时装。在几何中很能说明问题的例子是五角星和正五边形：五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也有五角星图案，那为什么说它是美丽的呢？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的，也正是这些符合黄金比的线段给观者一种和谐的视觉感受。正五边形也是很美的，它的对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形（如果一个等腰三角形的顶角是36度，那么它的高与底线的比等于黄金数，这样的三角形称为黄金三角形）。

　　
　　黄金矩形（即宽与长的比例是1:1.618的矩形）是一种非常美丽和令人兴奋的数学现象，其拓展远远超出了数学的范围，可见于自然界、艺术界、建筑界，广告界，甚至于很多国家的国旗都是黄金矩形。它的普及性并非偶然，心理学测试表明，在矩形中，黄金矩形是最为令人赏心悦目的。众所周知，意大利画家达芬奇的名作《蒙娜丽莎》的女主角有着完美的微笑，却很少有人知道，在这幅画的创作中画家大量运用了黄金矩形来构图，这也是整个画面让人感受到和谐自然，优雅安宁的原因之一吧。

　　
　　幻方—神秘的和谐美

　　
　　幻方（magic square）这个最早被用来占卜和趋吉避凶的数学现象一直以来向人们展示着它变幻莫测的神秘的数字之美。那么，什么是幻方呢？所谓n阶幻方是指横向和纵向各有n个方格，每个方格内只能填1～n?之间的不重复的自然数，而且其横向数之和、纵向数之和及其对角线上的数之和都相同的方阵。奇数阶幻方、偶数阶幻方、三角形幻方、五角形幻方……等等。古人们在幻方中寻找精神的寄托，甚至把它当作护身符，现代人则更多地通过解幻方来享受数字所带来的乐趣。

　　
　　幻方的解法有他和谐和引人入胜的地方。例如：作为奇阶幻方的三阶幻方的幻和是15。它的构造有很多种方法，下面是比较容易理解的三阶幻方的构造方法：

　　
　　1

　　
　　2

　　
　　a

　　
　　4

　　
　　3

　　
　　b

　　
　　5

　　
　　c

　　
　　7

　　
　　6

　　
　　d

　　
　　8

　　
　　9

　　
　　2

　　
　　9

　　
　　4

　　
　　7

　　
　　5

　　
　　3

　　
　　6

　　
　　1

　　
　　8

　　
　　图（1） 图（2）

　　
　　首先，绘制如图（1）表格，从右上到左下依次写下1，2，3，……9，九个数字，并且分别使 1，2，3在一条直线上（4，5，6和7，8，9也同样）。然后把9填在a（即1 的下方）处、1填在d（9的上方）处、3填在c（7的左方）处、7填在b（3的右方）处，这样就能构成如图（2）的三阶幻方。

　　
　　又如：作为偶阶幻方的四阶幻方的幻和是34。它可以如下图构造：

　　
　　16

　　
　　2

　　
　　3

　　
　　13

　　
　　5

　　
　　11

　　
　　10

　　
　　8

　　
　　9

　　
　　7

　　
　　6

　　
　　12

　　
　　4

　　
　　14

　　
　　15

　　
　　1

　　
　　幻方

　　
　　1

　　
　　2

　　
　　3

　　
　　4

　　
　　5

　　
　　6

　　
　　7

　　
　　8

　　
　　9

　　
　　10

　　
　　11

　　
　　12

　　
　　13

　　
　　14

　　
　　15

　　
　　16

　　
　　图（3） 图（4）

　　
　　把1～16共16个数字依次填在四行四列的表格中，然后把对角线上的数字对称地变换位置如图（3），就能构造成如图（4）的四阶幻方[2]。

　　
　　幻方的构造方法有很多种，每种方法都足够吸引人，当然，这些解法和构造都有一定规律，所有的结构都自有他和谐美妙之处，可以说幻方是在不经意间向人们展示了数学的和谐美。

　　
　　计算也和谐

　　
　　事实上，不仅仅是某些特定的定理、公式和数学问题才能体现出数学的和谐。数学的计算也有他和谐之处。如：

　　
　　例1 小学一年级“十几减九的退位减法”的计算中，学生们可以用诸如“破九法”、“数数法”……等多种解法来解，也有学生通过仔细观察发现：把被减数的个位和十位相加即是答案。即：19-9=10=1+9 18-9=9=1+8 17-9=8=1+7 16-9=7=1+6 15-9=6=1+5 14-9=5=1+4 13-9=4=1+3 12-9=3=1+2 11-9=2=1+1这九个算式充分地体现了数学和谐的规律性。

　　
　　例2 小学四年级“两位数乘以两位数”的计算中，我们发现：11? =121、12×11=132、13×11=143，……18×11=198，即11～18的数乘以11所得的结果都是个位数不变，十位数是原数的十位和个位相加，百位数是原数的十位数；而在平方数的学习中，1? =1，11? =121，111? =12321，1111? =1234321结果都是回文数（从左往右读和从右往左读一样的数叫做回文数）。这两种运算不仅仅体现了规律性，更向我们展示了数学和谐的趣味性。

　　
　　诸如上述有规律可循又不乏趣味性的数学运算有很多，这样的数学运算不仅视觉上让人体会到和谐之美，更重要的是，一旦掌握了规律，人们可以应用规律进行简便运算，让学习者体会到学习数学的乐趣。

　　
　　（二） 内容上的和谐之美

　　
　　人们在评价数学之美时往往只看到形式上的数学美而忽略了其内容上的美，事实上，内容上的数学美才是最能让人体会到数学乐趣的。原因如下：

　　
　　数学是具有自然表现力的

　　
　　首先，很多自然现象的轨迹都能用数学方程式表示，比如：

　　
　　例3 将一个小球放在一个一米高的水平摆放的桌子的边缘（让球与桌子边的切点与圆心在垂直于桌面的一条直线上）给小球一个水平方向的初速度，小球下落的轨迹如图（5）所示，设起始点为O点，水平方向为X轴，竖直方向为Y轴，以O点为坐标原点，水平向右和竖直向下为正方向，建立如图（6）所示的坐标系。由物理相关知识可知，平抛运动水平方向做匀速直线运动，用（其中v代表速度，t代表时间）表示；其竖直方向做自由落体运动，用y=gt?（其中g代表重力加速度，t代表时间）。联立两式消去t，得

　　
　　数学的和谐美（v,g是常数），这个数学方程式也说明平抛运动的轨迹是抛物线。

　　
　　数学的和谐美  数学的对称美

　　
　　图（5） 图（6）

　　
　　其次，很多的数学方程式其图像都能在自然界找到原型，又比如：

　　
　　例4 采撷数学之美，学习数学乐在其中的图像如图（7）：

　　
　　幻方  采撷数学之美，学习数学乐在其中

　　
　　图（7） 图（8）

　　
　　这个图像与图（8）的三叶草极其类似。[3]一个简单的数学函数，绘制成了代表爱情的三叶三叶草。数学，原来也可以如此浪漫！

　　
　　例5 双曲抛物面的标准方程是：数学的对称美它的图像的形状很像马鞍，因此得名“马鞍面”。此外，这个标准方程还有两个相关的变式，z=xy,幻方它们的图像形状仍然很像马鞍，它们的图像也被称作“马鞍面”。简单的数学方程，能绘出马鞍的形状。数学，就是这么生活化！

　　
　　2.数学具有鲜活的生命力

　　
　　众所周知，数学是很多自然学科的基础学科，物理、化学、生物、经济……等领域都需要用数学来证明，可以说，没有数学的发展，其它社会学科就不可能发展。数学和人类的关系是密不可分的，人们不仅可以用数学来解决社会生活中的问题，还可以用来解决人类自身的某些问题。人和动物的血液循环系统中，血管不断地分成两个不同粗细的支管，它们的直径之比 ，依据流体力学原理由数学计算知道，这种比在分支导管系统中，使液流的能量消耗最少。[3]近年来，在研究黄金分割与人体关系时发现了人体十四个黄金分割点和十二个黄金矩形；动物的头骨看上去似乎甚有差异，其实它们不过是同一结构在不同坐标系下的表现或写真，这都是大自然自然选择和生物本身进行优胜劣汰的必然结果。也因此，我们说数学这个自然学科有着鲜活的生命力。

　　
　　二、所谓对称，看上去很美

　　
　　对称，通常是指发生在某个点、直线、平面之间的，在大小、形状和排列上的一一对应关系。在数学中，对称的概念更加广泛，人们常把某些具有关联或对立的概念视为对称。对称美实际上也属于和谐的范畴，但是之所以把它提出来单独说是因为对称美作为和谐美的一个范畴有其卓越之处，它是最直观的数学美。

　　
　　（一）概念上的对称

　　
　　在代数中，形如：x+y,xy,x?y?…等多项式由于它们中任何两个变元对调后所得的多项式与原多项式相同，所以它们都是对称多项式。而在数论中，我们认为代数的奇数和偶数、正数和负数，三角的正弦和余弦…等都是对称的。运算中，加、减运算，开方、乘方运算…等也都是对称的。这些看似枯燥的运算，实际上正是蕴涵了对称的美，而且对称美也并不体现在它们之间形式上的对称，同时我们也可以通过对称的关系，运用对称的算法检验结果或是寻求简便运算。

　　
　　例6：小学生在用竖式计算33-19=14时，可以用14+19=33来验证结论。

　　
　　除此之外我们还可以把正定理和逆定理，共轭复数…等看作是对称的。当然，我们也可以把某些数学式看作是对称的，在不等式中，对称性是很重要的一个性质。教师在不等式教学中，可以充分利用不等式的这一性质来让学生亲身体会到数学美的内涵：教师可以通过不等式这一看似简单乏味的性质让学生看到，它在实际计算中为人们提供了多大的方便。

　　
　　例7：已知a,b,c∈R,a≥1,b≥1,c≥1；求证：（a+a+1）（b+b+1）（c+c+1）≥27abc这样轮换对称的不等式的证明常常让学生无从下手，但是通过仔细观察这个不等式的特点，教师可以启发学生利用这个式子对称的特点轻松地完成证明。

　　
　　（二）图形的对称

　　
　　图形的对称，是数学对称最直观的内容之一，我们基本可以通过视觉来判断某一图形对称与否。

　　
　　在几何中，我们可以看到点和点关于轴的对称、线和线关于点的对称，平面和平面的对称，轴对称图形和中心对称图形等等。此外，还有的图形既关于轴对称又关于中心对称，例如圆形既关于轴对称又关于点对称，而正方形是关于点、线、面都对称的图形。

　　
　　1.轴对称图形

　　
　　如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。

　　
　　在图形中，等腰三角形、矩形、正五边形……等都是轴对称图形。

　　
　　在生活中，我们也可以找到很多轴对称图形的例子，比如古币就是有两条对称轴的轴对称图形；巴黎的凯旋门平面图，故宫博物院平面图都是有一条对称轴对称的轴对称图形；就连我们的身体都是对称的呢。

　　
　　2.中心对称图形

　　
　　把一个图形绕它的某一点旋转180度，如果旋转后的图形能跟它原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。

　　
　　图形中，圆、平行四边形，菱形，正方形……等都是中心对称图形。

　　
　　生活中，中心对称图形也是随处可见的，大到飞机的螺旋桨，小到奥迪的车标都是在设计上采用了中心对称图形。

　　
　　对称可能是数学中最为平易近人的美了，因为它的直观例证比比皆是，宏伟如天安门，悠久如艾菲尔铁塔，闻名如凯旋门…人们在赞叹人类建筑的伟大的同时，又怎能不感叹世界因为有了对称的事物而格外美丽呢？

　　
　　三、数学之美，乐在其中的美

　　
　　很多人认为学习数学是枯燥的，烦人的，有的人永远也弄不懂数学。可是有的人却认为数学既简单又有趣，数学大师陈省身先生在2002年的国际数学大会上就曾经为少年儿童题词，写下了“数学好玩”四个字。事实上，任何人或多或少都能从不同的角度体会到数学的美。数学的美，美在它的和谐，美在它的独特，也美在它能给人们带来精神上的愉悦。数学的和谐性、对称性是数学美的构成要素，同时通过研究他们我们发现只要恰当的运用数学的美我们就能从学习数学的过程中体会到学习的乐趣。

　　
　　我们在上述对和谐美和对称美的分析中已经发现，和谐的数学世界有很多有趣的现象、命题，我们可以在学习这些知识的同时发现数学美，体现数学美，使数学学习乐在其中。

　　
　　（一）简便运算—乐不乐由你

　　
　　很多人都喜欢简便运算，因为简便运算有利于发散思维，因为简便运算节省时间，因为简便运算可以使复杂问题简单化。利用最简单的方法解决问题是很多人追求的目标之一。如：乘法算式35×5×2其中的35×5并不好算，但是，如果把原式改写成35×（5×2）问题迎刃而解，人们可以一下子就说出答案。又如：

　　
　　例8 一个正方形的面积是10平方米，在它的里面画一个最大的圆，求圆的面积。很多初学者拿到这道题想到是方法一：

　　
　　幻方

　　
　　图（7）

　　
　　如图7，设a为正方形的边长，d为圆的直径，r为圆的半径，S为圆的面积，S’为正方形的面积。　因为S’==10,所以a=d=

　　
　　因为幻方，所以数学的对称美，则ｒ2= =2.5，采撷数学之美，学习数学乐在其中 （平方米）

　　
　　即先求，再求圆面积。

　　
　　再进一步考虑可以想到更简便的方法二：

　　
　　数学的对称美

　　
　　图（8）

　　
　　如图2，把正方形平均分成四份，每份是的面积就是10÷4（平方米）。而每一份都是一个边长为ｒ的正方形，它的面积＝，所以＝10÷4。从而得到圆的面积： S＝3.14×（10÷4） ＝7.85（平方米）

　　
　　例9 （1234567+2345671+3456712+4567123+5671234+6712345+7123456）÷7=？很多人拿到这道题后，感觉没有头绪，只能按部就班地列竖式计算括号内部分再除以7。其实，通过仔细观察不难发现，这道题每个七位数每一位上的数字和都是28。

　　
　　则：原式可化简为28（1000000+100000+10000+1000+100+10+1）÷7

　　
　　=4×1111111=4444444

　　
　　类似的简便运算可以为人们节省很多时间，甚至从环保角度考虑，这种运算也为人们省下了不少草稿纸呢！谁能否认，这些看上去有点小儿科的小学数学运算给我们生活带来的方便呢？谁能抵挡得住这种方便的诱惑呢？又有谁会忽略掉简便运算带来的乐趣呢？

　　
　　（二） 数字游戏—有人乐此不疲

　　
　　有很多人乐意研究数字间的小小关系，从而体会到无限的乐趣。例如，我曾经在某个论坛上看到过这样的帖子：“在1-9中选择一个你喜欢的数，乘以9,得数的个位和十位相加（是个位就用个位）后再乘以3,再加上你的年龄把得数告诉我，我能猜出你的年龄哦！”这是个看似很神奇的测试，其实不过是运用了初等数论中能被9整除的数的 数字特征。

　　
　　分析 如果被试者选1，1乘以9得9，再乘以3得数是27； 2-9中任选一数参与测试的原理也很容易想明白，因为无论2-9中的哪个数字乘以9，其得数都是能被九整除的两位数且最大是81，又因为被9整除的数的数字特征是各数位上的数字和是9的倍数，则所得到的两位数个位上的数和十位上的数相加得数是9，乘以3也得27。测试者只要用得到的数字减去27就是被测试者的年龄。这个测试，是数论的相关知识在现实生活中的应用。道理很简单，可乍一听来还真有些神奇呢！数论知识在现实生活中的应用还有很多，“韩信点兵”就是其中比较著名的一个：

　　
　　例10 韩信点兵，有兵一对，两两数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问士兵几何？

　　
　　分析与解答 在知道士兵数的大概范围后，他能快速算出所点兵的人数是2333，这让他的属下很佩服他，实际上这不过初等数论中同余式组的求解问题，是有名的“大衍求一（中国剩余定理）”的应用，设士兵人数为X：

　　
　　采撷数学之美，学习数学乐在其中①；幻方②；幻方③

　　
　　用大衍求一术：

　　
　　余数分别是：2 3 2

　　
　　衍数： 35 21 15

　　
　　乘率： 2 1 1

　　
　　各总： 70 21 5

　　
　　采撷数学之美，学习数学乐在其中

　　
　　则 幻方

　　
　　因为韩信知道士兵的人数大概是2300人左右，通过上式可求得士兵人数=23+105×22=2333人。

　　
　　还有些人喜欢用数字游戏作谜语，比如：1/100（百里挑一）；7/8（七上八下）；；7/2（不三不四）等。又例如：最近在网上看到一款手机游戏数独，游戏有9行9列81个空格，玩家要将1-9个数字填在这些格子里，要求每行每列都不能有重复的数字出现。这小小一方九宫格，它里面暗藏无穷变化，据说在英国火得不得了，人们对数字游戏的热情由此也可以窥知一二吧。

　　
　　（三） 数学与诗—乐得如此高雅

　　
　　数学的诗—数字诗

　　
　　数字诗古已有之，它是数学美中较容易被人们忽略的元素，但也自有其不可挡的魅力。例如：

　　
　　一去二三里，

　　
　　烟村四五家，

　　
　　亭台六七座，

　　
　　八九十枝花

　　
　　诗人在20字诗中，巧妙地运用了1至10这10个数字，精炼而准确地向读者展示了静美恬淡的山村风光。还有什么词语比这些数字更传神呢？

　　
　　诗中数字—看意境

　　
　　数字是抽象的，诗歌是要用形象思维的，然而这两者结合，同样有佳作产生：岳飞“三十功名尘与土，八千里路云和月”的抱负；李白“举杯邀明月，对影成三人” 的孤寂；韩愈“一朝封奏九重天，夕贬潮阳路八千”的愤怒，孟郊“春风得意马蹄疾，一日看尽长安花”的欢快……简单的数字勾勒出了复杂的意境，恰如其分地表达了作者的心情，简单的数字为写诗和读诗的人平添了多少乐趣，谁能说得清！

　　
　　3.诗与数字—快乐、枯燥一线间

　　
　　很多人都知道圆周率π，圆周率的数字是没有规律可循的，背诵圆周率是件很枯燥的事情，也因此，很少有人能背到圆周率小数点后八位。但是有的人却能在极短的时间内背下小数点后22位，这是为什么呢？

　　
　　从前有一位很有学问、记忆力很好的教书先生，喜欢饮酒。他常常跑到山上的寺庙找和尚一起对饮，一边喝酒，一边谈天说地。 一次，和尚想考考这位先生的学问和记忆力，就要这位先生背诵一遍圆周率，背到小数点后22位，然后对先生说：“我再念上三遍，你如果能马上背出来，我愿意罚酒三十杯。”这圆周率可不是一般的数，它的小数点后面的数字无穷无尽而且排列得毫无规律，一般人是不容易背出来的，何况和尚只念三遍。但是，这位聪明的先生想出了一个高招，很快就背出来了，原来，他根据读音相近的特点，听和尚念第二遍时，就编了一首歌谣：“山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐尔乐。” 这样，当和尚念第三遍时，他很快就记住了3.1415926535897932384626这一长串复杂的数字。这个和尚听了，惊奇得连连赞叹先生记忆超人，确实非凡，只好连饮三十杯酒。[6]

　　
　　教书先生这首貌似很应景的诗正好和圆周率谐音，原本很枯燥的学习因为一首诗霎时简单起来。

　　
　　数字世界是个奇妙的世界，在浩瀚的数学研究的海洋里，有很多值得我们探究的东西，只要我们带着发现美的眼睛来看待数学，我们就会发现数学的美在万事万物中，数学的美举不胜举，数学的美乐在其中。

　　参考文献：

　　[1]易南轩。《数学美拾趣》第二版[M]. 北京：科学出版社，2004.

　　[2][韩]李光延著，金红子译。《有趣的数学》第二集[M].北京：北京理工大学出版社，2002.68-71.

　　[3]吴振奎 吴昊编著。《数学中的美》[M].上海：上海教育出版社，2004.

　　[4]佚名。数学美—你知道多少

　　http://www.jnjyw.edu.cn/jsxinwen/ArticleShow.asp?ArticleID=207

　　[5]张荣起。 数字诗奇趣

　　http://www.ccppg.com.cn/c/n70/ca14205.htm

　　[6]奇妙的π

　　http://www.hzedu.net/Template/teaWindow3.aspx

　　[7]褚勤龙。寻找合适的“固着点”[J].小学数学教师，2005,（9）：53.