摘要：目标意识是一种重要的思维策略。在数学归纳法中，目标意识的作用特别重要。本文结合实例，对数学归纳法中目标意识的定向、调控、选择、推理、化简、验证等作用，分别进行了介绍和论述。

　　论文关键词：数学，归纳法，目标意识，思维策略

　　
　　一、目标意识的定向作用

　　
　　例1（1998年高考题文）用数学归纳法证明：

　　
　　数学归纳法中目标意识的思维策略

　　
　　证明：⑴当n=1时，左边，右边 ，∴n=1时，等式成立。

　　
　　⑵假设n=k时，等式成立，即

　　
　　思维策略

　　
　　对上式两边同时加上思维策略得：

　　
　　思维策略

　　
　　即当n=k+1时，等式成立。由⑴、⑵知，对任意的，等式都有成立。

　　
　　评析：上述数学归纳法证明过程中，为什么只有在等式两端同时加上一项

　　
　　数学归纳法中目标意识的思维策略，才能使证明过程比较简捷？这是由解题目标决定的。在思考第二步证明过程时，可先将n=k+1时要证明的等式：

　　
　　数学

　　
　　事先写出，作为目标，然后与n=k时假设成立的等式

　　
　　思维策略

　　
　　进行比较，就会发现n=k+1时成立的等式左边多了一项数学归纳法中目标意识的思维策略，所以，证明时应该在假设成立的等式两端同时加上这一项，从而确定了证明过程的思维方向，这正是上述证明方法的来由。这就是目标意识的定向作用。

　　
　　二、目标意识的调控作用

　　
　　例2（1993年高考题理）已知数列：归纳法 ，Sn为其前n项和，经过计算得：思维策略 ，观察上述结果，推测出Sn的计算公式，并用数学归纳法加以证明。

　　
　　解：由已经计算的结果可以推测出：数学。现在对上式用数学归纳法进行证明：

　　
　　⑴当n=1时，等式已经成立。

　　
　　⑵假设n=k时，等式归纳法成立。当n=k+1时，

　　
　　数学

　　
　　所以当n=k+1时，等式成立。由⑴、⑵知对所有的自然数n,等式都有成立。

　　
　　评析：把要证明的等式数学归纳法中目标意识的思维策略作为目标，注意到等式右边有“1”的特征，就应该在证明过程中始终把“1”保持不变。这样就会使证明过程更简单一些，从而有效地把握和控制了证明思路，这就是目标意识的调控作用。

　　
　　三、目标意识的选择作用

　　
　　例3用数学归纳法证明：“目标意识，数学归纳法中目标意识的思维策略”的过程中，从假设n=k成立到证明n=k+1成立时，在等式两端需要乘的是（ ）。

　　
　　（A）（Ｂ）　（Ｃ）思维策略　（Ｄ）

　　
　　分析：先把n=k+1时要证明的等式

　　
　　目标意识

　　
　　写出来当作目标，然后与n=k时假设成立的等式

　　
　　目标意识

　　
　　进行对比，就会发现两个等式左面的差异，由此可知需要乘的代数式是数学。所应该选（Ｃ）。这就是目标意识的选择作用。

　　
　　四、目标意识的分析作用

　　
　　例4（1992年高考题理）证明不等式：数学归纳法中目标意识的思维策略 归纳法

　　
　　证明：⑴当n=1时，左面=1，右面=2，不等式成立。

　　
　　⑵假设n=k时，不等式成立，即

　　
　　目标意识，对此式两端同时加上得：

　　
　　数学归纳法中目标意识的思维策略，

　　
　　又目标意识，

　　
　　归纳法。

　　
　　即当n=k+1时，不等式也成立。由⑴、⑵知对于任意，不等式都成立。

　　
　　评析：上述证明过程中，对分子进行放大

　　
　　数学这一步是不容易想到的。对此可以用目标意识进行分析。先把写出n=k+1时要证明的不等式目标意识，并作为目标，观察不等式右面就可以看出，必须证明不等式思维策略成立，即只需证明不等式，即证明数学。由基本不等式知，最后这个不等式成立。

　　
　　这样用目标意识进行逆向分析，就能迅速找到解题思路，较快地解决关键的一步。这就是目标意识的分析作用。

　　
　　五、目标意识的推理作用

　　
　　例4用数学归纳法证明：思维策略 （）

　　
　　证明：⑴当n=1时，左面=，右面=，数学归纳法中目标意识的思维策略成立。

　　
　　⑵假设n=k时，数学归纳法中目标意识的思维策略成立。当n=k+1时，因为

　　
　　思维策略

　　
　　即当n=k+1时，不等式也成立。由⑴、⑵知对于任意，不等式都成立。

　　
　　评析：在上述证明过程中，只所以要用不等式思维策略、目标意识进行放大消去、数学归纳法中目标意识的思维策略。这是因为要证明的目标不等式数学的右面没有、思维策略。可见利用目标意识就能正确推理，使证明过程能够顺利进行。这就是目标意识的推理作用。

　　
　　六、目标意识的化简作用

　　
　　例4设sinα≠0,对于任意用数学归纳法证明：

　　
　　目标意识。

　　
　　证明：⑴当n=1时，左面=，右面=目标意识，等式成立。

　　
　　⑵假设n=k时，等式成立，即

　　
　　思维策略。当n=k+1时，就有

　　
　　目标意识  目标意识

　　
　　这就是说，当n=k+1时，等式也成立。根据⑴、⑵知对于任意，等式都成立。

　　
　　评析：这是高中代数课本下册等121页的内容，课本中给出的证明过程有点繁。如果运用目标意识进行分析，那么就能简化证明过程。先把n=k+1时，要证明的等式

　　
　　数学

　　
　　写出作为目标，进行观察，因为上式右边的分子中有目标意识，所以在证明过程中就应该把目标意识保留，按下面的方法进行变形：

　　
　　数学

　　
　　这样就会使证明过程简单一些，这就是目标意识的化简作用。

　　
　　七、目标意识的验证作用

　　
　　例7（1989年高考题）是否存在常数a、b、c使得等式：

　　
　　数学归纳法中目标意识的思维策略对于一切自然数n都成立，并用证明你的结论。

　　
　　解：分别取n=1、2、3，就可以求得a=3、b=11、c=10，于是对于n=1、2、3等式

　　
　　思维策略成立。

　　
　　下面用数学归纳法证明对于一切自然数n，这个等式都成立。

　　
　　⑴当n=1时，等式已经成立。

　　
　　⑵假设n=k时，等式成立，即

　　
　　目标意识

　　
　　当n=k+1时，对上式两端同时加上目标意识得：

　　
　　归纳法

　　
　　评析：在上述证明过程进行到倒数第二步时，即得到目标意识时，不容易判断推理过程是否正确。这时就可以先把要证明的等式写出来：

　　
　　目标意识

　　
　　作为目标，并将右边方括号中的数学展开并化简数学然后相互进行比较，就能验证推理过程是否正确。这就是目标意识的验证作用。

　　参考文献：

　　1、曹平原 《目标意识在数学归纳法中的作用》（数学大世界）1999年第3期。

　　2、曾晓新 乌玫 《分析目标比较差异实现解题》（数学通讯）1999年第９期。